이 책은 오일러의 다면체 정리를 주제로 택하여 18세기부터 20세기 초까지의 수학사를 역사 발생적으로 분석하면서 수학의 발생이 어떤 논리에 따라 이루어지는가를 교사와 학생간의 대화형식으로 논의하고 있다.

여기서 제기되는 '역사 발생의 논리'에 따른 수학인식론은 기성의 유클리드적인 연역체계를 그대로 수학인식론으로 간주하는 입장에 대한 비판이다. 저자인 라카토스가 고려하고 있는 또 하나의 중요한 입장은 포퍼가 제기한 '비판적 오류주의'로, 그는 이러한 포퍼의 철학적 입장을 수학에 적용하여 수학적 지식의 성장을 '증명과 반박'의 논리로 설명한다. 말하자면 수학은 증명과 반박의 논리에 의한 추측의 개선을 통해 발전하는 것이며, 따라서 비형식적인 수학적 지식은 추측에 불과하다는 것이다.

그러나 라카토스가 수학의 논리적 구성을 무시하는 것은 결코 아니며, 그가 보다 중요하게 확립하고자 하는 것은 기성 수학의 체계적인 연역적 접근과 발생 과정에 있는 수학의 발견적 접근의 조화이다.

제 1 장 증명과 반박

1 문제와 추측
2 한 가지 증명
3 국소적 반례이지만 전면적 반례가 아닌 반례에 의한 증명의 비판
4 전면적 반례에 의한 추측의 비판
5 전면적 반례이지만 국소적 반례가 아닌 반례에 의한 증명―분석의 비판. 엄밀성의 문제
6 국소적 반례이지만 전면적 반례가 아닌 반례에 의한 증명의 비판으로의 복귀. 내용의 문제
7 내용의 문제에 대한 재고
8 개념 형성
9 비판은 어떻게 수학적 진을 논리적 진으로 전환시킬 수 있는가

제 2 장 형식적 증명

편집자의 말
1 벡터 대수의 '완벽하게 알려진' 용어를 사용한 추측의 번역. 번역의 문제
2 추측에 대한 또 다른 증명
3 증명의 최종성에 대한 몇 가지 의심. 번역 절차와 정의에 대한 본질주의자의 접근 대 유명론자의 접근

부록 I 증명과 반박 방법에 대한 또 다른 사례 연구

1 코시의 '연속성의 원리'에 대한 옹호
2 사이델(Seidel)의 증명과 증명―생성된 평등 수렴의 개념
3 아벨의 예외 배제법
4 증명-분석 방법의 발견 과정에서의 장애

부록 II 연역주의자의 접근법 대 발견적 접근법

1 연역주의자의 접근법
2 발견적 접근법. 증명―생성 개념